🎲 Xác suất

Cho một bảng vuông được tạo thành từ $100\times 100$ ô vuông đơn vị, diện tích mỗi ô là $1$. Bạn An chọn ngẫu nhiên một hình vuông thuộc bảng (hình vuông có cạnh nằm trên các đường lưới), sau đó bạn Bảo chọn ngẫu nhiên một ô vuông đơn vị thuộc bảng. Xác suất để ô vuông do bạn Bảo chọn nằm trong hình vuông do bạn An chọn là bao nhiêu $\%$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một chất điểm di chuyển trên trục tọa độ $Ox$. Tại thời điểm ban đầu, chất điểm ở gốc tọa độ $O$. Ở mỗi bước di chuyển, chất điểm nhảy sang phải $1$ đơn vị với xác suất $\frac{2}{3}$, hoặc nhảy sang trái $1$ đơn vị với xác suất $\frac{1}{3}$. Tính xác suất để sau đúng $10$ bước di chuyển, chất điểm quay trở lại gốc tọa độ $O$ và trong suốt quá trình di chuyển, tọa độ của nó luôn lớn hơn hoặc bằng $0$.

Một bài thi trắc nghiệm gồm $20$ câu hỏi được hiển thị thành một hàng dọc trên giao diện web. Một học sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên một số lượng câu hỏi bất kỳ (từ $0$ đến $20$ câu) để trả lời, các câu còn lại bỏ trống. Tính xác suất để học sinh đó chọn trả lời sao cho không có bất kỳ $2$ câu hỏi nào nằm kề nhau trên giao diện được trả lời.